Astronomie

Jak vzniká vztah specifického momentu hybnosti - hmotnosti?

Jak vzniká vztah specifického momentu hybnosti - hmotnosti?


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Čtu o konkrétním vztahu momentu hybnosti - hmotnosti galaxií a jsem si jistý, že chápu, jaké jsou možné důvody rozdílu ve specifickém momentu hybnosti eliptických vs. spirálních galaxií. Ale nejsem si jistý, jak samotný vztah vzniká. Jakákoli pomoc by byla oceněna, díky!


Zachování momentu hybnosti a Keplerův a druhý zákon # 8217

Zákony zachování jsou velmi důležité zákony pro nebeské objekty ve vesmíru. Bez zákonů zachování nebudou všechny tyto nebeské objekty poslouchat předvídatelné pohyby jako v tomto vesmíru. V tomto příspěvku budu hovořit o zachování momentu hybnosti.

Všechny objekty obíhající nebo rotující mají moment hybnosti. Chcete-li změnit moment hybnosti objektu, musíme použít „krouticí sílu“ neboli krouticí moment. Zachování hybnosti znamená, že celková momentová hybnost v uzavřeném systému je vždy zachována. Bez vnějšího krouticího momentu může objekt změnit svou momentální hybnost pouze přenesením momentu hybnosti do nebo z jiných objektů v systému.

Většina nebeských objektů má jak orbitální moment hybnosti, tak rotační moment. Zachování orbitální hybnosti ve skutečnosti vysvětluje druhý Keplerův zákon planetárního pohybu. Podle druhého Keplerova zákona o planetárním pohybu, jak se planeta pohybuje kolem své oběžné dráhy, vymetá stejné oblasti ve stejný čas.

Vzorec pro orbitální moment hybnosti je: moment hybnosti = m * v * r
Kde m je hmotnost objektu, v je rychlost oběžné dráhy objektu a r je poloměr oběžné dráhy.


Točení obrovských klasických boulí ve spirálních galaxiích

Sandeep Kumar Kataria je doktorandem 3. ročníku na Indickém ústavu pro astrofyziku v rámci Společného astronomického programu Indického institutu pro vědu v Bangalore. Jeho výzkumné zájmy spočívají v galaktické dynamice a vývoji galaxií. Mezi jeho záliby patří běh, jízda na kole a hraní volejbalu. Kromě toho ve svém volném čase rád dělá vědeckou činnost ve školách a hraje na flétnu.

Úvod:

Hmota spirálních galaxií je distribuována hlavně ve třech složkách: klasická boule (ClB), disk a okolní temná hmota halo. Klasické boule jsou ústředními stavebními kameny mnoha spirálních galaxií raného typu (viz Průvodce Astrobity typy galaxií). Tyto boule mohly vzniknout v důsledku srážek mezi galaxiemi v časném vesmíru nebo různými jinými procesy zmíněnými v tomto článku. Předpokládá se, že zpočátku je pohyb hvězd v ClB neuspořádaný, takže ClB se neotáčí. Autoři tohoto článku vidí zajímavý problém k zamyšlení: v současnosti je pozorována čistá rotace hvězd v klasických boulích. Původ této rotace je třeba ještě podrobně pochopit.

Jeden z autorů tohoto článku v dřívější práci vysvětlil, že klasická boule s nízkou hmotností se točí absorpcí momentu hybnosti z galaktických pruhů. Prut má rychlost vzoru, což je míra kolektivní rotace rodiny oběžných drah hvězd v pruhu. Výměna momentu hybnosti z tyče nastává hlavně při rezonancích v disku. Jedná se o místa, kde rozdíl mezi rychlostí otáčení disku a rychlostí pruhu má specifické poměry s radiálními oscilacemi hvězd na disku. Tyto rezonance lze považovat za analogické rezonancím ve varhanní píšťalce, jejíž přirozená frekvence odpovídá vlnám s vlnovými délkami, které odpovídají délce varhanní pícky. Podívejme se, jak autoři přistupují k řešení problému rotace v ClB.

Experimenty s modely galaxií pomocí počítačů:

Autoři tohoto článku se pokoušejí vysvětlit rotace sítě v Massive ClB pomocí simulací N-Body. Nejprve modely galaxií s nerotujícími klasickými boulemi různých
hmoty a velikosti se generují pomocí dobře známých technik, takže tyto modely nejsou nestabilní. Jedním ze známých klasických parametrů lokální stability je Toomreův parametr. Tento parametr měří poměr mezi vnitřním gravitačním tahem hvězd v určitém bodě a radiálními pohyby hvězd v tomto bodě. Pokud jsou tyto pohyby dostatečně silné, nebude gravitační tah k jejich překonání dostatečný a disk bude místně stabilní. Všechny modely po evoluci vytvářejí pruhy různých velikostí podle počáteční hodnoty parametru Toomre. Dále bod zájmu spočívá v pochopení toho, jak tyto tyče přenášejí moment hybnosti na ClB.

Studium kinematiky boule z experimentů:

Obrázek 1a. Mapy povrchové hustoty horního řádku a # 8211 modelu s nejvyšší hmotností ClB v různých dobách jeho vývoje. Druhá až čtvrtá řada a # 8211 přímá viditelnost (vlevo) a rozptyl rychlosti (vpravo) se mapují v různých časech. Tyto obrázky jsou pořízeny v 90 ° projekci (pohled z boku) a hlavní osa lišty je zarovnána s osou x. Jasné podpisy rotace jsou vidět na 4 Gyr. Barevný pruh nahoře představuje hustotu, střední rychlost a spodní rozptyl rychlosti.
Obrázek 1b. Rotace, disperze rychlosti a lokální radiální profily V / σ pro čtyři ClB v modelech.

Autoři zaznamenávají změny v orbitální konfiguraci v důsledku přenosu momentu hybnosti pomocí tyče. Z obrázku la je patrné, že rotační složka ve vnější části boule se časem zvyšuje. Je také vidět, že střední část boule se stává & # 8216hot & # 8217 a mírně kulatější. Zde & # 8216hot & # 8217 znamená, že oběžné dráhy hvězd se stávají neuspořádanějšími a zvyšuje se jejich disperze rychlosti (σ). Obrázek 1b ukazuje radiální profily rotace a disperze hvězd v bouli o rychlosti 4 Gyr pro několik simulovaných modelů. Lze odvodit, že ClB se ve svých vnějších částech otáčejí rychleji. Porovnání simulovaných rotačních dat ClB s pozorováním však není snadný úkol: pozorovací rotační data obsahují hvězdy jak v boulích, tak i v prutech a rozlišení, ke kterým patří, je v jednom okamžiku náročné.

Obrázek 2a. Horní řada: distribuce vyboulených hvězd s frekvencí (Ω - ΩB) / κ v různých časech v průběhu sekulárního vývoje v modelu s nejnižší vydutá hmota. Dolní řádek: čistá změna momentu hybnosti vybraných hvězd ve srovnání s předchozím časem. Svislé tečkované čáry označují nejdůležitější rezonance (zleva doprava): −1: 1, 4: 1, 3: 1, 5: 2 a 2: 1. Jak čas postupuje, více hvězd je zachyceno rezonancí pruhu s hvězdným diskem v poměru 2: 1. K většině přenosu momentu hybnosti však dochází prostřednictvím rezonance 5: 2.
Obrázek 2b. Zde horní a dolní řádky představují stejné entity jako na předchozím obrázku, ale pro modely s nejvyšší hmotnost ClB. Stejně jako u klasických boulí s nízkou hmotností dochází k většině přenosu momentu hybnosti prostřednictvím rezonance 5: 2.

Proces roztočení v masivních klasických boulích:

Po simulaci modelů galaxií s různými typy ClBs autoři dospěli k závěru, že specifický přenos momentu hybnosti (moment hybnosti na jednotku hmotnosti) sloupcem je stejný pro ClB s nízkou a vysokou hmotností. Většina přenosu momentu hybnosti z disku do boule nastává na konkrétních místech (rezonancích), které jsou znázorněny na obrázcích 2a a 2b. Tento jev vede k probuzení hustoty (zarovnání hvězd v bouli s pruhem) v bouli. V simulacích nejsou hustoty probuzení tak zarovnané s pruhem v nízkohmotných ClB, ale jsou zcela vyrovnány s vysokohmotnými ClB na konci simulace. Autoři také zjistili, že vnější části boule procházejí značnou rotací. Oběžné dráhy v boulích s nízkou hmotností jsou navíc dobře uspořádané, ale ty v boulích s vysokou hmotností jsou více neuspořádané. Na konci simulace mají všechny modely tyč s tvarem & # 8216box & # 8217, což naznačuje, že kompozitní boule (ClB + Boxy Bar) by měly být v galaxiích běžné. Nakonec autoři dospěli k závěru, že masivní ClB, stejně jako ClB s nízkou hmotností, jsou ovlivněny výměnou momentu hybnosti s tyčí. Proces roztočení je výraznější, když je lišta větší než ClB.


Angular Momenta

3.1 Algebra momentu hybnosti

Všechny úhlové momenty (spin, orbitální a totální) se řídí stejnou algebrou zde popsanou a pak místo J (jak bude použito zde), je možné nahradit kteroukoli z nich L nebo S . Podívejme se tedy nejprve na moment hybnosti v kartézských souřadnicích:

Tyto komponenty se řídí následujícím komutačním vztahem:

Důvod, pro který je veškerá algebra momentu hybnosti platná pro všechny momenty hybnosti, pochází z výše uvedené sady rovnic, tj. Spin, orbitální a celkový moment hybnosti sledují stejný komutační vztah.

Tyto komponenty se navzájem nedojíždějí, a proto je nelze současně diagonalizovat. Musíme tedy vzít v úvahu další veličinu: druhou mocninu operátoru celkové momentu hybnosti:

Tento nový operátor dojíždí s každou z těchto komponent:

a proto je lze diagonalizovat současně. Nyní můžeme definovat základ | j, m j〉, kde J 2 a J z jsou úhlopříčky (toto poslední jsme vybrali z důvodu pohodlí, ale mohli jsme zvolit buď J x nebo J y). Tím pádem,

kde j je celková moment hybnosti systému a

kde m j = - j, - j + 1,…, + j - 1, + j, je projekce celkové momentu hybnosti J → na z-osa.

Máme tedy základ, kde obě J 2 a J z jsou úhlopříčky. Neznáme však celý celkový okamžik, protože ještě zbývá určit složky J x a J y. Chcete-li jít dále, musíme definovat dva operátory, pojmenované operátory žebříku:

Je tedy možné určit:

Z ekv. (3.9), je možné napsat:

a proto určete konečného operátora J →.

Několik slov o vektorovém prostoru, ve kterém jsou tyto vektory: Hilbertův prostor. Matematicky vzato se jedná o zobecnění euklidovského prostoru. Pro celkový moment hybnosti J, existují 2 j + 1 různých stavů (možnosti m j). Matice získané shora tedy mají rozměr (2 j + 1) × (2 j + 1). Necháme jako cvičení napsat maticové operátory J x, J y a J z, na základě výše uvedeného popisu.


Zakřivení, silná gravitace a gravitační vlny

12.9 Kruhový orbitální pohyb v Schwarzschildově metrice

Mezi Schwarzschildovou metrikou existují některé výrazné rozdíly mezi problémem Newtonova Keplera a orbitálním pohybem, které bychom měli ocenit [5]. V předchozí části jsme odvodili rozhodující orbitální rovnici,

Tento výraz můžeme zapsat ve formě jednorozměrné pohybové rovnice do radiální souřadnice,

Porovnejte tuto rovnici s odpovídající rovnicí v newtonovské mechanice,

Speciální efekty v obecné relativitě pocházejí z posledního výrazu v rovnici. (12.74b), což je relativistický efekt, který se mění jako 1 /C 2, díky čemuž je původ atraktivnější než odstředivá bariéra, L 2 /2r 2, dělá to odpudivé! Na obr. 12.18 porovnáváme V e f f N (r) pro newtonovskou mechaniku s PROTIeff(r) obecné relativity. Výrazný rozdíl je v tom, že pro L 2 ≠ 0, PROTIeff(r) se rozchází jako -r -3 blízko původu! Tento termín znemožňuje mít stabilní kruhové dráhy pro malé r. Můžeme hledat stabilní kruhové dráhy v PROTIeff(r) hledáním řešení těchto dvou podmínek,

Obrázek 12.18. Porovnání obecného relativistického efektivního potenciálu a newtonovského efektivního potenciálu pro radiální souřadnici kolem černé díry. Volba parametru je uvedena na obrázku.

První požadavek dává,

který uvádí, jak L 2 závisí na poloměru oběžné dráhy,

Můžeme tedy mít kruhové dráhy pouze pro r & gt 3GM/C 2. Kromě toho od dr/ = 0 na kruhové dráze, E 2 = 2PROTIeff (r) tam a,

i tam. Nakonec můžeme vyřešit výraz Eq. (12,76) pro r,

Dozvídáme se, že pokud L 2 & lt 12G 2 M 2 /C 4, pak neexistují žádné kruhové dráhy. Kromě toho lze zkontrolovat, zda d 2 V e f f d r 2> 0 r+ a d 2 V e f f d r 2 & lt 0 pro r. Ale protože L 2 musí být větší než 12G 2 M 2 /C 4, aby existovaly stabilní dráhy, vyplývá z rovnice. (12,78) to r+& gt6GM/C 2 .

Musíme rozumět pojmu - G M L 2 c 2 r 3 palce PROTIeff. Kvalitativně mění newtonovský efektivní potenciál poblíž původu a další přitažlivost přemůže odstředivou bariérovou podmínku, která je tak důležitá v mnoha fyzikálních problémech od planetárního pohybu po kvantovou mechaniku. Úpravy Newton – Keplerových předpovědí planetárního pohybu jsou dramatické i pro naši sluneční soustavu, kde neexistují žádné exotické objekty, jako jsou černé díry, a nový termín je ve srovnání s ostatními výrazy v PROTIeff. Lze zkontrolovat, že u planetárních problémů je radiální souřadnice vždy mnohem, mnohem větší než rSch takže vždy pracujeme v „slabém“ gravitačním režimu, kde očekáváme, že newtonovské předpovědi budou velmi přesné. Ve skutečnosti je nový termín malou poruchou, ale přináší výrazné a měřitelné úpravy předpovědí newtonovské mechaniky. Důvod je zajímavý. Připomeňme, že newtonovská mechanika předpovídá, že oběžné dráhy hmot v 1 /r potenciál jsou perfektní elipsy, Zavřeno periodické dráhy. Jedná se o speciální funkci, „dynamickou symetrii“ 1 /r potenciál Newtonova gravitačního zákona. Jediný další potenciál, který produkuje Zavřeno, periodické dráhy jsou harmonický oscilátor, potenciál, který roste jako r 2 a zde není relevantní. Jde o to, že pokud dojde k narušení 1 /r potenciál Newtonova gravitačního zákona, potom planetární rovnice ztratí svoji speciální symetrii a chtěly by ne produkují uzavřené, periodické elipsy. Místo toho by oběžné dráhy rok od roku mírně precesovaly. Jelikož se v průběhu času hromadí velmi pomalá precese oběžné dráhy, ukazuje se, že účinek je měřitelný pomocí údajů získaných z pozorování využívajících konvenční dalekohledy! Nový termín v PROTIeff ve skutečnosti řešil dlouhodobý rozpor v planetární vědě: ostatní planety, které obíhají kolem Slunce, narušují oběžnou dráhu Merkuru a také způsobují jeho precesi. Když však byly tyto newtonovské efekty vypočítány, připadalo na ně pouze 93% pozorované precese rtuti. Posledních 7%, 43 s oblouku za století, zůstalo záhadou po více než 200 let. Obecná předpověď relativity pro precesní rychlost Merkuru je ve skutečnosti téměř přesně 43 s oblouku za století! To byl velký úspěch obecné teorie relativity v jejích počátcích!

Proč ale obecná relativita předpovídá nový termín - G M L 2 c 2 r 3? Můžeme to motivovat tím, že to napíšeme sugestivnější formou,

Tady L 2 /r 2 je energie způsobená úhlovým pohybem objektu a dělením C 2 udává svůj hmotnostní ekvivalent. (Slovo o jednotkách zde: L byla definována jako moment hybnosti na hmotnost. Tak L 2 /r 2 se chová jako příčná rychlost na druhou. Násobení ekv. (12,74) hmotou částice & # x27s obnoví energetické jednotky.) První faktor v rovnici (12,79) je gravitační potenciál generovaný hmotou M, takže rovnice zaznamenává skutečnost, že všechny energie se navzájem přitahují univerzálním způsobem. Newtonovské mechanice tento termín chybí, protože ve světě Newtona & # x27s se přitahují jen masy, nikoli jiné formy energie. Ve světě Einstein & # x27s jsou energie, hmotnost a hybnost sjednoceny do jediného čtyřvektoru, takže princip kovariance trvá na tom, že všechny přispívají stejně ke gravitační přitažlivosti. Protože nový termín je síla dlouhého dosahu, odpadává jako třetí síla vzdálenosti, což je důležité ve planetární fyzice, kde jsou všechny gravitační účinky slabé. Ale je také velmi singulární jako r → 0, takže v blízkosti černých děr může dominovat nad známějším odstředivým odporem a vytvářet nové efekty.

Nový termín ilustruje, že obecně se všechny formy energie navzájem přitahují. Například energie nesená samotným gravitačním polem přitahuje všechny ostatní formy energie. Díky tomu je teorie vysoce nelineární, jak jsme již viděli v několika aplikacích, nejvíce explicitně v Schwarzschildově metrice. Tato skutečnost se také projevuje při pokusech o kvantovou teorii gravitace, kde gravitony, analogie fotonů elektrodynamiky, musí na sebe vzájemně působit. Zdá se, že tyto interakce generují nové interakce, které jsou na krátké vzdálenosti velmi jedinečné a vedou k patologiím. Ačkoli klasická obecná relativita je teorie plná triumfů, hledání kvantové verze pokračuje bez odměny.

Nyní se vraťme k problému, který je po ruce, a uvažujme radiální „infalling“ částice s momentem hybnosti. Zvažte ekv. (12,73). Chceme vypočítat správný čas pro volný radiální pohyb vyřešením této rovnice pro , zevšeobecňující diskusi v Rov. (12,71),

Nový výraz, G M L 2 c 2 r 3, vstupuje do jmenovatele s kladným znaménkem, které naznačuje, že má sklon pokles správný čas potřebný k tomu, aby se mezi tím dostal r1 a r0. Odstředivá bariéra L 2 r 2 vstupuje se znaménkem mínus a pracuje podle očekávání opačným směrem. Pokud však r & lt rSch, pak dominuje nový termín a vzrůstající moment hybnosti klesá správný čas, životnost „infalling“ objektu!


Proč byla momentová hybnost definována tak, jak byla?

klíčem je vyjádření věcí pomocí křížového produktu:

Vyzkoušejte to a uvidíte, kam se s tím dostanete. Mám takový zápis, který jsem si pro sebe udělal (protože se mi nelíbilo, jak moje kniha mechaniky toto všechno vytáhla z magického klobouku). Mohu to zveřejnit, pokud chcete (používá však Geometrickou algebru), ale pro vás je pravděpodobně více poučné vyzkoušet si výše uvedenou nápovědu.

Druhým Newtonovým dobrým zákonem je vektorová rovnice, což znamená, že s ní můžeme dělat jakékoli vektorové věci.

Zejména, pokud jej propojíme s jiným vektorem, je to stále platné.

r je vektor a křížový produkt s r je [itex] sum tau = r krát p [/ itex].

ehm ... proč r a ne něco jiného?

Vysvětlení úvodní mechaniky
Skvělá věc na definování [itex] vec = sum_i vec krát vec[/ itex] je, že z toho vyplývá, že [itex] d vec/ dt = vec < tau> _ < textup> [/ itex] protože [itex] vec krát vec = 0 [/ itex]. Pokud jste použili jakýkoli jiný vektor než r, měli byste v pravidle produktu další výraz. A definování [itex] vec < tau> _ < textup> = sum_i vec krát vec[/ itex] je intuitivní (stačí použít klíč nebo si zahrát na houpačce), ale lze jej také ukázat přímou aplikací translační formy Newtonova druhého zákona, která je úměrná úhlovému zrychlení, což z něj činí analogu síly . To znamená, že definování momentu hybnosti, jak to děláme, nám poskytne rotační analog hybnosti, který je zachován, když rotační analog síly zmizí.

Intermediální mechanika vysvětlení
Lagrangian je izotropní, tato symetrie je spojena s Noetherovým proudem ve formě veličiny, kterou bychom definovali jako moment hybnosti. Prostě to vyskočí přímo z matematiky, kterou najdete v jakémkoli úvodním textu teorie klasického pole.

Zejména, pokud jej propojíme s jiným vektorem, je to stále platné.

r je vektor a křížový produkt s r je [itex] sum tau = r krát p [/ itex].

poznámka: malý překlep výše (měl by být moment hybnosti, nikoli točivý moment)

Protože jbunten pracoval na [itex] mathbf„[/ itex] pro [itex] mathbf = r hat < mathbf> [/ itex] v jiném vlákně, navrhl jsem pro akceleraci udělat totéž. Nevím, jak daleko se dostal, ale konečný výsledek s [itex]
boldsymbol < omega> = frac < mathbf times mathbf>
[/ itex], je:

můžete vypočítat rychlost a zrychlení z hlediska radiálních komponent:

Za konstantní m tedy získáte:

a proto uvidíte přímo důvod, proč množství [itex] mathbf times mathbf

[/ itex] se stává významným (dostává se název moment hybnosti). Je to derivace, která pro konstantu m, (r x p) '= r x F, dostává název točivý moment a je vidět, jak to souvisí se Sílou na objekt.

Takto jsem to rád viděl. křížové produkty jsou pouhou posloupností pohledu na věci z radiálního hlediska, protože je lze použít k vyjádření rozdílu od projekce do radiálního směru.

Ano, moment hybnosti a točivý moment jako součin jsou členy přítomné v F = ma vyjádřené radiálně.

V newtonovské hranici je to zásadní F = p ', takže toto radiální zrychlení platí pouze pro konstantní hmotnost. Nejsem si jistý, jestli jsem to viděl v úvodních textech, které popisují zachování momentu hybnosti, ale ne odkud to pochází. Pokud máte hromadnou ztrátu, jako v případě problému s raketovou lodí, pak zachování momentu hybnosti platí pouze v případě, že i nadále zahrnete veškerou ztrátu hmoty do svého & quot; systému & quot.

Všimněte si, že jsem to neodvodil výše, pouze zveřejnil konečný výsledek. Existuje výše uvedená nápověda, jak to vlastně odvodit sami (začněte r = rhat | r | a použijte rhat 'výše). Pravděpodobně je pro vás poučivější to udělat sami (nebo se o to alespoň pokusit), než abych tento derivát zveřejnil přímo.

V příkladu použiji souřadnice pro dvě dimenze: Částice A je v poloze (-1,0), částice B je v poloze (1,0), částice A vyvíjí sílu F_ (AB) = (0 , 1) na částici B a částice B působí na částici A silou F_ (BA) = (0, -1). Tam silové vektory splňují Newtonův třetí zákon, protože jsou stejné velikosti a v opačném směru . Moment hybnosti však není konzervativní, protože obě částice se samy začnou otáčet proti směru hodinových ručiček.

Tento příklad dokazuje, že pokud pouze předpokládáte, že v nějakém systému jsou Newtonovy zákony uspokojovány, není zatím možné dokázat, že při nulovém vnějším točivém momentu by se moment hybnosti zachoval.

V příkladu použiji souřadnice pro dvě dimenze: Částice A je v poloze (-1,0), částice B je v poloze (1,0), částice A vyvíjí sílu F_ (AB) = (0 , 1) na částici B a částice B působí na částici A silou F_ (BA) = (0, -1). Tam silové vektory splňují Newtonův třetí zákon, protože jsou stejné velikosti a v opačném směru . Moment hybnosti však není konzervativní, protože obě částice se samy začnou otáčet proti směru hodinových ručiček.

Tento příklad dokazuje, že pokud pouze předpokládáte, že v nějakém systému jsou Newtonovy zákony uspokojovány, není zatím možné dokázat, že při nulovém vnějším točivém momentu by se moment hybnosti zachoval.

Abychom měli úplné vysvětlení pohybu, musíme samozřejmě specifikovat, jaký druh sil částice používají k interakci. To je něco jiného než Newtonovy zákony. Newtonovy zákony jsou pouze souborem pravidel, kterým se síly musí podřídit, ale i pro síly může existovat více pravidel. Možným omezením sil je, že vektor síly musí směřovat ve stejném směru jako vektor prostorové separace mezi částicemi. V tomto případě bude moment hybnosti zachován.

Newtonův přístup spočívá v tom, že jsme nastavili postulát, že pro všechny síly existují odpovídající protisíly. V podobném duchu můžeme jednoduše nastavit postulát, že pro všechny krouticí momenty existují odpovídající krouticí momenty.

Přístup Lagrangeových a Noetherových odhaluje něco jiného. Pokud je Lagrangeova funkce neměnná pod překlady, znamená to, že je zachována celková hybnost, což je ekvivalentní existenci protisíly. Pokud je Lagrangeova funkce invariantní při rotacích, znamená to, že je zachována celková momentová hybnost, což je ekvivalentní existenci protitahovacích momentů.

Všimněte si, že invariance překladu neznamená rotační invariance.

Přílohy

Není to úplně jisté, jak moc to pomůže, ale když na něco použijete sílu tak, aby to otočilo obecnou cestu, směr posunu udává směr účinku, který síla měla. Přidaný sin (theta) tedy může mít několik významů, které se k tomu přidávají (v takovém případě by to byl moment). Stejný koncept lze aplikovat na moment hybnosti.

U křížového produktu vidíme, že dva vektory interagují v rámci plánu a indukují další vektor ve směru kolmém k rovině. Všimněte si také, že můžete vzít součin libovolných dvou interagujících vektorů. i když tento postup může nebo nemusí mít velký význam.

Newtonův třetí zákon znamená zachování momentu hybnosti

V příkladu použiji souřadnice pro dvě dimenze: Částice A je v poloze (-1,0), částice B je v poloze (1,0), částice A vyvíjí sílu F_ (AB) = (0 , 1) na částici B a částice B působí na částici A silou F_ (BA) = (0, -1). Tam silové vektory splňují Newtonův třetí zákon, protože jsou stejné velikosti a v opačném směru . Moment hybnosti však není konzervativní, protože obě částice se samy začnou otáčet proti směru hodinových ručiček.

Tento příklad dokazuje, že pokud pouze předpokládáte, že v nějakém systému jsou Newtonovy zákony uspokojovány, není zatím možné dokázat, že při nulovém vnějším točivém momentu by se moment hybnosti zachoval.

Newtonovská mechanika v zásadě nerozpoznává sílu na dálku, kromě případů povolených třetím Newtonovým zákonem (akce a reakce).

Když jsou stejné, ale opačné síly aplikovány kolmo na opačné konce tuhé tyče, můžete říci, že Newtonův druhý zákon vyžaduje pouze to, aby střed tyče zůstal nehybný, a neříká nic o rotaci.

Ale to nedokáže zacházet s konci prutu jako s oddělenými těly. Každý konec cítí tažnou sílu podél prutu (musí to udělat, jinak by prut nebyl tuhý) a Newtonův druhý zákon pak způsobí, že konec prutu jde do kruhu.

Ačkoliv použité síly nejsou stejné a opačné (a tak neřídí Newtonův třetí zákon), tahové síly jsou.

Všechny centrální síly (jako je gravitace a elektrický náboj) jsou v souladu s třetím Newtonovým zákonem a lze snadno dokázat, že šetří moment hybnosti.

Naproti tomu jednotné magnetické pole (které je kolmé na střed) například posílá nabitá tělesa v kruzích, a to samozřejmě ne zachovat moment hybnosti kolem vzdálené osy!

Ano ... samozřejmě bychom mohli definovat síly způsobem, který porušuje Newtonův druhý a třetí zákon, což dělá váš příklad.

Síly, které ne setkání v určitém okamžiku musí být rozšířeno spojovacími silami, které se řídí třetím Newtonovým zákonem.

Všechny síly lze tedy seskupit podle bodu, ve kterém se setkají.

A v každém takovém bodě lze prokázat, že síly, které se v určitém bodě setkávají, šetří moment hybnosti kolem jakékoli osy:


The s orbitaly jsou sférické, zatímco p orbitaly jsou polární a orientované v určitých směrech (x, yaz). Může být jednodušší myslet na tato dvě písmena z hlediska orbitálních tvarů (d a F nejsou popsány jako snadno dostupné). Pokud se však podíváte na průřez okružní dráhy, není jednotný. Pro s orbitální, například, tam jsou skořápky vyšší a nižší elektronové hustoty. Hustota v blízkosti jádra je velmi nízká. Není to však nula, takže existuje malá šance najít elektron v atomovém jádře.

Elektronová konfigurace atomu označuje distribuci elektronů mezi dostupnými skořápkami. V kterémkoli okamžiku může být elektron kdekoli, ale pravděpodobně je obsažen někde v objemu popsaném orbitálním tvarem. Elektrony se mohou pohybovat mezi orbitály pouze absorbováním nebo emitováním paketu nebo kvanta energie.

Standardní notace uvádí symboly subshellu, jeden za druhým. Počet elektronů obsažených v každém subshell je výslovně uveden. Například elektronová konfigurace berýlia s atomovým (a elektronovým) číslem 4 je 1 s 2 2 s 2 nebo [He] 2 s 2. Horní index je počet elektronů v úrovni. U berylia existují dva elektrony v orbitálu 1 s a 2 elektrony v orbitálu 2 s.

Číslo před úrovní energie označuje relativní energii. Například 1 s je nižší energie než 2 s, což je zase nižší energie než 2 p. Číslo před energetickou hladinou také označuje jeho vzdálenost od jádra. 1s je blíže k atomovému jádru než 2s.


Magnetické systémy: měrné teplo

2.2 Vylepšení masy elektronů zdarma

Ačkoli magnetismus vzniká v elektronickém spinu a orbitálním úhlovém momentu, v případě vodivých elektronů v kovu přispívá k magnetickým vlastnostem pouze ten první. Příspěvek volného elektronu k měrnému teplu Cel je v rámci Fermiho teorie popsán jako Cel=?Tje Sommerfeldův koeficient? přímo úměrné hustotě stavů na Fermiho úrovni, tj.? [J / mol K2] = a (napřF) [uvádí / atom eV] / 424 a následně k elektronické hmotnosti m0 (Tari, 2003).

Ve volném elektronovém modelu se k definování m 0 =? Používá jednoduchá parabolická hustota stavů. 2 k 2/2 e disperzní vztah. Pro studium fyzikálních systémů je však zapotřebí realističtější popis hustoty stavů. V aproximaci prvního řádu je to jednoduchá opětovná normalizace elektronické hmoty meff umožňuje popsat mnoho systémů za předpokladu, že se budou řídit statistikami Fermi-Dirac. Taková opětovná normalizace odpovídá zvýšení naměřeného Sommerfeldova koeficientu: meff/m0=?/?0, obvykle kvůli interakci elektron-fonon?phinterakce elektron-spin-split?sf a / nebo lokální pásová elektronová interakce?ee. Vzhledem k tomu, že tyto interakce jsou v zásadě nezávislé, je aditivní kritérium jako? =?0(1+?ph+?sf+?ee) je použito. Experimentální hodnoty? jsou extrahovány z a Cp/T=? + ßT 2 znázornění (pro případ Pd viz obrázek 1). Pro čisté kovy? se pohybuje mezi 0,19 a 10 mJ / mol K 2 pro Be a Y (Phillips, 1972).

Interakce elektron-fonon je relativně slabá: 0,5 & gt?ph& gt1, ale hraje důležitou roli v klasických supravodičích. Ve skutečnosti?ph termín pro tyto materiály je extrahován ze vztahu mezi supravodivou teplotou a?D (McMillan, 1968).

V putovních systémech, typicky s prvky 3d nebo 4d-Pd, vede výměna mezi protilehlými rotacemi pásových elektronů spontánní spin-split elektronů s opačnou polarizací poháněnou molekulárním polem. Tento efekt je popsán Stonerovým vylepšovacím faktorem S=1-U?(EF) kde U odpovídá za Coulombovu energii (viz např. Blundell, 2004). V důsledku toho je náchylnost k Pauli?P je vylepšen jako?P=S?0 s ohledem na nerušenou náchylnost, s tím spojené zvýšení holé hustoty států ??0 a opětovná normalizace charakteristické energie fluktuace rotace Tsf=TF/S. Pro S«1, Tsf soutěží s tepelnými buzeními, a pokud frekvence kolísání rotace ?sf?(kBTsf) -1 je větší než tepelné výkyvy, příspěvek otáčení vypadá nemagnetický, tj.?P jako. Naopak pro T& gtTsf teplotní výkyvy jsou rychlejší než a systém má tendenci k typu Curie? 1 /T paramagnetické (PM) chování. Tento crossover se projevuje maximálně v citlivosti, která roste jako? (T)=?P+bT 2 na T& ltTsf boční. Při nízké teplotě související nárůst o meff je účtován?sf termín, který má příkladného zástupce v čistém Pd s?sf= 0,9 a a = 9,4 mJ K -2 mol-1 (Phillips, 1972), zahrnuté na obrázku 1. Mezi RE-intermetallics je ilustrativním příkladem LaNi5 s a = 34 mJ K -2 mol-1, což je dále zvýšeno přítomností nestabilní valence Ce v CeNi5 with ?=40 mJ K -2 mol -1 and Tsf˜100 K (see Sereni, 1991 and references therein).

In localized 4f and 5f system, the characteristic fluctuation energy kBTsf is strongly reduced and local details in the density of states become relevant. For spins 1/2, the enhanced specific heat undergoes a temperature dependence at T& ltTsf described by C s f / T = ? + ß T 2 + d T 2 ln ( T / T s f ) (see, e.g., De Visser, 1987 ). In Figure 1 , two exemplary systems UAl2 and CeSi1.85 ( Stewart, 1984 ) are included showing the ? term enhanced by more than a decade respect to pure Pd. The latter compound is fit with a CP/T=92+0.84T 2 ln(T/130)+0.06T 2 mJ K -2 mol -1 formula.


Figure Skating

Physics of Figure Skating

Friction

A simple opposing force is said to be friction, and the energy produced between two bodies moving against each other in direction and force is dissipated. The energy is the result of temporary bond-forming at contact and bond-breaking at non-contact.

In figure skating, the friction is less because skates on a flat surface do not have any opposing force due to the absence of a rugged exterior.

Though it has been mentioned several times that friction in ice skating is negligible to zero, it has two types of friction.

However, these arise only when you have been skating on the ice for a longer time, and so, the ice layer has considerably melted, increasing the amount of thickness of the liquid water layer.

Also, the friction produced is not too strong to completely oppose the skater against its direction of movement, yet not too weak to just let the skater move however they like.

It is in moderation. Hence it enables the skater not to move, not to run, but to glide over the ice.

Two Types of Frictions are –

  • Static Friction – occurs between two bodies not moving in relation.
  • Dynamic Friction – occurs between two bodies moving in relation.

Static friction acts initially due to less liquid water layer on the ice, hence minimal amount. As you continue skating, Dynamic friction comes into play due to a more liquid water layer on ice.

Ploughing

It means the act of moving or pushing through something while applying a considerable amount of force. Friction also acts in this movement as an opposing force to the action of ploughing.

Increasing the temperature, the radius, and hardness of the third body molecules decrease, increasing the ploughing force. However, these conditions require a constant sliding force to be maintained.

Ploughing affects the pace of the skater as follows –

  • Higher speeds – blades are aligned in the direction of motion, radius of curvature (distance between the center and a point on the circumference of a circle) increases, ploughing lowers, lower coefficient of friction.
  • Lower speeds – blades are tilted, deeper digging, higher ploughing, higher coefficient of friction.

Forces (F)

‘Unbalanced Forces’ are forces that have a difference in them. Figure skating relates to the different forces exerted by the skater and the skates they are using.

Due to them being unbalanced, the resultant force acting drives the skater along with its skates, forward or backward.

If they had balanced forces, the resultant force would have been zero, and there would be no motion occurring.

Cumulative of both the unbalanced forces, the direction is taken of the resultant force and not their individual directions.

If the skater is already in motion, then speed increases if the resultant direction is the same as the previously moving direction if not, i.e., if the resultant direction is not the one previously moving on, then the speed decreases.

These are also assisted by a slightly forward mass balancing skating stance.

Momentum (Spins)

Spins are the vital as well as the most adrenaline-producing parts of a performance routine. It encompasses the true beauty of figure skating by embodying the physical concepts of momentum.

By definition, ‘Momentum’ is ‘the mass and velocity product used to measure a motional body.’ An alternate definition of momentum concerning figure skating would be ‘the amount of force necessary to stop an in-motion body’.

The more the mass of the moving body, the more momentum is needed to stop its movement.

Momentum always remains constant and conserved in a system of one body or more than one body. It only changes on the instigation of external force.

A variation of this is ‘Angular Momentum (L)’, which is the actual form of momentum participating in spinning.

A Case Study

A female figure skater rotates during twirls, and an angle is introduced to the process. This depends on the below two facets –

The figure skater spins with increased speed when her hands are tucked in conversely, she expands her hands, where a decrease in speed is observed.

Elucidation of how speed and mass affect angular momentum is less the distribution of mass more is the speed and vice versa.

For the same female figure skater, the number of spins depends upon –

  • Angular Velocity – speed produced by angular momentum.
  • Rotational Inertia – the amount of center of mass taking part in the spin due to angular momentum.

(These two are variations of the above two factors, introduced after angular momentum comes into the picture).

When the same female figure skater is at rest, she has a certain angular velocity and rotational inertia.

When she sits down and brings her legs closer to the body to start spinning, her rotational inertia decreases, and angular velocity increases.

This dip of one to rise another occurs to preserve the property of conservation of angular momentum.

Another Case Study

In a duet, out of the two bodies engaged, of the same speed of rotation and same weight and distribution of the center of mass, the one with more mass extends in space than the other and will have greater angular momentum.

Centripetal Force (Death Spiral)

To understand ‘Death Spiral,’ one must first learn what is ‘Centripetal Force.’ It is the force acting on a body when that body is in rotation around a fixed point.

It is directed inward and traces a circle around the fixed point. Since it’s a circle, the velocity produced due to rotation acts tangentially to the traced circle.

Example: A ball tied at the end of a string. The one rotating the ball is the fixed point creating a centripetal force that maintains the ball’s rotation.

If the string breaks accidentally, the ball will not continue to move in a circular motion instead, it flies away tangentially to the field of the circular orbit.

Ice Skating Duet – Case Study

In a duet, the man is the fixed point, and the woman is the rotating body. The man has to produce enough centripetal force, which is attained by him applying force on his toes and digging into the ice surface to maintain the proper orbit of rotation of the women.

It should not be too little or too much, which may disrupt the smooth rotation. Also, the velocity of the woman should be within which the centripetal force produced by the man may handle.

Otherwise, the women may break hold from the man, suffering injuries.

It is one of the most challenging moves to be performed, only executed after tons of practice and formation of trust-bond between the two partners.

Newton’s Laws

All three ‘Newton’s Laws’ are involved in the entire process of figure skating.

First Law

Based on the first law, i.e., “A resting object will stay the same until unless an external force is applied, and a moving object keeps on moving until unless an external force is applied either to stop the continuing motion or increase the speed or change the direction of the action already occurring”, explains that a skater cannot move onward or rearward until and unless an external force, that is the pushing of your rear leg first and the front leg next in a continuous rhythm to maintain the speed and to apply a greater amount of force to increase speed further.

The skater may be at rest or in motion, and in both cases, an extra amount of force is to be applied than the usual cases with Newton’s first law (also called the law of inertia, which tends to remain at rest) acting on them.

This is because, as mentioned above, the friction working during figure skating is negligible to zero, which is not the case in the typical examples.

Hence, the need for more than usual force, explicitly in Figure Skating.

Second Law

The statement of the second law is, ‘An external force acting on an object, whether in rest or motion, is equal to the product of that object’s mass and acceleration’. The application of this law to figure skating corresponds to the following explanation.

When a skater starts to move from rest or is already in motion then, the force exerted by them to move either onward or rearward depends on both the skates’ and skaters’ mass and acceleration. More precisely, the product of this mass and acceleration gives the amount of external force acting.

Third Law

The third law of ‘A reaction force mandatorily accompanies every action force applied.’ implies the simple occurrence of the skater applying force on the surface of the ice to move forward and the ice, in turn, replying with a force of itself. This to and fro of force is what allows the skater to initiate movement.

The friction is not to be neglected in the tug-of-war between the skater and the ice. It does take part in the skater’s motion and lets them glide instead of an abrupt forward or backward movement, but a smooth sliding.

Mechanics in Figure Skating

The mechanics of Figure Skating are the same as ice skating except for the addition of ‘Clap Skates.’ These are mandatorily affixed to the skaters as figure skating requires a unique set of artistry skills.

Balance

To aid in the complex maneuvers of Figure Skating, ‘Clap Skates’ are hinged to the skate blades, one to each skate.

These are also used in ‘Speed Skating’ as it also requires an extra balancing element to avoid tipping or falling and save from procuring any injuries.

Clap Skates are fixed at the heel of the skate. It is sandwiched between the heel and the blade.

This mediator prolongs the contact time of the skates to the ice and thus allows a better distribution of energy for efficient and effective natural and specific ankle-dependent moves.

Impact of Temperature

The optimum temperature set in usual ice rinks is -7℃. This must be maintained to uphold the quality of the ice rink and not cause any fatalities due to sudden ice breakage.

The coefficient of friction is dependent on the temperature of the ice floor.

An ice rink for figure skating is softer, meaning maintained a little above 20℃. This is because, at higher temperatures, the ice is not rigid, meaning provides greater friction than when it is hard.

Soft ice is precisely for the jumps, spins, and lifts of a figure skating routine.

Impact of Sliding Speed

Sliding Speed refers to the speed of the skater over the ice surface. When this increases, the third body layer between the skates and the ice surface takes the weight of both the contact surfaces to some extent.

However, when the speed is further increased, the third body transforms into a sole layer between the contact surfaces and increases the friction to a greater extent.

Why Are Sharp Skates Better for Speed?

A straightforward explanation involves the below two points –

  • Cut deeper into the ice providing more resistance to the momentum produced during movement.
  • Lesser surface area, less friction to resist.

Ice Skating is indeed an act to marvel at. A figure skater’s performance encompasses true beauty and captures the audience’s eyes in a captivating trance. Little does the audience know that what they are gaping at has a strong background in physics.

These concepts may be difficult to understand, but with an open mind and a zeal to learn new things, you will know them like the back of your hand.

The creation of ice has fulfilled its true purpose of giving life to the close-knit relation of ice skating and physics.


Chirality and the angular momentum of light

Chirality is exhibited by objects that cannot be rotated into their mirror images. It is far from obvious that this has anything to do with the angular momentum of light, which owes its existence to rotational symmetries. There is nevertheless a subtle connection between chirality and the angular momentum of light. We demonstrate this connection and, in particular, its significance in the context of chiral light–matter interactions.

This article is part of the themed issue ‘Optical orbital angular momentum’.

1. Úvod

The word chiral was introduced by Kelvin to refer to any geometrical figure or group of points that cannot be brought into coincidence with its mirror image, thus possessing a sense of handedness [1]. It derives, in fact, from the Greek for hand: (E. Eleftheriadou 2015, private communication). In the language of point group theory, a chiral form is devoid of improper rotational symmetry elements [2]. The word dissymmetry was used by Pasteur to convey this more negative perspective [3,4]. Barron effectively extended Kelvin’s definition of chirality to include time in addition to space by distinguishing between ‘true’ and ‘false’ chirality, the former being exhibited by systems that can exist in two distinct enantiomeric (enantiomorphic) states interconvertible, up to a proper rotation, by a parity inversion but not by a time reversal [5].

Chirality pervades the natural world, from the enigmatic preferences of fundamental forces [6,7] to the helices traced out by the arms of galaxies [8] and even the plates of Stegosaurus [9,10]. In particular, many molecules can enjoy a seemingly stable existence in either a left- or a right-handed form which are distinct mirror images of each other, as was established by the pioneering works of Pasteur [11], van ’t Hoff [12] and Le Bel [13]. These opposite enantiomers often interact rather differently with living things, as chirality is also inherent to life: amino acids, sugars and other biomolecules besides are chiral and their chirality is crucial to their biological function [14]. To give but one of many striking examples, one enantiomer of methamphetamine is recognized as being a harmful narcotic, whereas the other enantiomer is relatively harmless, being employed, in fact, as a decongestant. The two enantiomers of a simple chiral molecule are depicted in figure 1.

Figure 1. The opposite mirror-image forms or enantiomers of bromochlorofluoromethane, a prototypical handed or chiral molecule. (Online version in colour.)

One of the principal means by which we are able to probe and harness molecular chirality is through the use of light that is itself chiral. Circularly polarized light in particular, which was discovered by Fresnel, is a truly chiral influence [2,15]. The electric- and magnetic-field vectors trace out helices in space [16], which can be left- or right-handed. Well-established chiral light–matter interactions include optical rotation, i.e. the differential refraction of left- and right-handed circularly polarized light [17,18], circular dichroism, i.e. the differential vstřebávání [19–22], and Raman optical activity, i.e. the differential Raman scattering [22–25]. Many other chiral electromagnetic interactions exist, of course [2,26–32].

That light can carry a well-defined angular momentum was recognized by Poynting [33], who inferred by analogy with a rotating cylindrical shaft that a beam of circularly polarized light carries an intrinsic angular momentum parallel to the direction of propagation. The existence of this so-called spin was confirmed by Beth [34]. In the modern understanding, the spin is per circularly polarized plane-wave mode photon of wavevector k [35], where the upper and lower signs refer, respectively, to left- and right-handed circular polarization in the optics convention [36] and a circumflex indicates a unit vector.

As the spin of a beam of circularly polarized light differs for left- and right-handed circular polarizations, it is natural, perhaps, to enquire as to its connection with the chirality of light and, moreover, to ask whether spin plays any explicit role in chiral light–matter interactions like those described above. It turns out, however, that there is no profound relationship between chirality and spin. One may appreciate this simply by noting that a parity inversion of the beam reverses the handedness of the beam (and the direction of propagation) while, nevertheless, leaving the spin unchanged. Spin derives not from the screw sense of the helices but instead from the sense of rotation of the field vectors: the spin can be cast as an integral over , for example, with A ⊥ the solenoidal magnetic vector potential and × denoting the conventional vector product. This resembles the angular momentum associated with the rotation of a particle’s position vector r, say.

At first glance, then, it might appear that chirality and the angular momentum of light are disparate subjects: chirality is the concept of handedness while the angular momentum of light, in particular spin, is associated with rotation rather than any form of inversion. Developments in recent years have revealed, however, that these two fields are, in fact, subtly intertwined. The purpose of this short paper is to elucidate and consolidate some of the advances in this direction.

In what follows, we consider ourselves to be in an inertial frame of reference, adopting a right-handed Cartesian coordinate system X,y,z with time t. Indices taken from the start of the Roman alphabet (A,b,C,…) may take on the values X, y nebo z and a double appearance of an index implies summation over X, y a z. We take a microscopic view, focusing upon freely propagating light or the interaction of this light with individual molecules. We work within the semiclassical domain, where the electromagnetic field is treated classically and everything else is treated quantum mechanically [37].

2. The angular momentum of light

It is now well established that light carries spin and also orbital angular momentum [38–41]. Less widely appreciated at present, however, is the fact that these are but two of many angular momenta carried by light, in the sense that there are many rotational symmetries inherent to Maxwell’s equations. In this section, we give a brief overview of the basic description in fundamental electromagnetic theory of the angular momentum of light, in particular, those facets of it that may not be familiar to the reader but nevertheless take centre stage in the context of the chiral light–matter interactions discussed in the following section. We work here in a system of units with ϵ0=μ0=C=1.

There has been much controversy in the past over what constitutes a ‘true’ angular momentum. We argue that an angular momentum is, fundamentally, a property of a system with the dimensions of an angular momentum, the conservation of which is associated with a rotational symmetry according to Noether’s theorem [42–46]. An angular momentum in this sense does not necessarily have a corresponding quantity in quantum mechanics that satisfies the usual commutation relation nor does it need to be a pseudovector. 1

(a) Manifestly intrinsic angular momenta

Freely propagating light is rather special in that it possesses, in particular, an infinite number of manifestly intrinsic angular momenta. The existence of these is intimately associated with the massless and vectorial character of the electromagnetic field [45,47].

At the heart of this collection is the helicity [48],

which has interesting properties, not least the fact that it is time-independent for monochromatic light.

Figure 2. The conservation of helicity, a manifestly intrinsic angular momentum distinct from spin, is associated with the fact that the electric and magnetic field vectors can be rotated about the direction of propagation. (Online version in colour.)

s θ a pseudovector of infinitesimal magnitude. This sees the electric and magnetic field vectors of each plane-wave mode rotated through an angle [50,58,59], as depicted in figure 3.

Figure 3. The conservation of spin, a manifestly intrinsic angular momentum distinct from helicity, is associated with the fact that the electric and magnetic field vectors can be rotated about any direction in space (provided this is done in a manner that leaves them perpendicular to the direction of propagation and each other, of course). (Online version in colour.)

The ab-infra-zilch [45,47], so named because of its connection with Lipkin’s ab-zilch 2 described below, is a component of a rank-two rotational pseudotensor, given by

It seems that this pattern extends in the obvious way: in general, there exists an angular momentum with components that take on values equivalent to per photon and which is associated with a rotational symmetry that sees the electric and magnetic field vectors of each plane-wave mode rotated through an angle [61]. Let us emphasize that helicity, spin, the ab-infra-zilches and so on are distinct from each other. Although the helicity, the z component of spin, the zz-infra-zilch and so on take on similar values for the particular case of a beam of light propagating in the +z direction, say, the differences in these angular momenta become clear when one considers more exotic forms of light [62]. A subtlety worth noting is that helicity, spin, the ab-infra-zilches and so on are ne synonymous with the concept of polarization, although their values certainly depend upon polarization. The distinction may be appreciated simply by noting that horizontal and vertical polarizations are distinct and yet are associated with the same, vanishing helicity, for example.

Interesting analogies can be drawn between these angular momenta and other, more familiar, quantities in physics. The continuity equation


Podívejte se na video: Toxický vztah - jak se ho vyvarovat a co dělat, když už v něm jste. VZTAHOLOG Michal Nikodem (Říjen 2022).